1. Reducción de potencia:
Utilizamos la identidad de ángulo doble $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ para cada término:
$$ S = \sum_{k=1}^{n} \cos^2\left(\frac{(2k-1)\pi}{n}\right) = \sum_{k=1}^{n} \frac{1 + \cos\left(\frac{2(2k-1)\pi}{n}\right)}{2} $$

2. Separación de la suma:
$$ S = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (1) + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{(2k-1)2\pi}{n}\right) $$
La primera parte es simplemente $\frac{1}{2} \cdot n = \frac{n}{2}$.

3. Análisis de la segunda suma:
Sea $S_2 = \sum_{k=1}^{n} \cos\left(\frac{(2k-1)2\pi}{n}\right)$. Esta es una suma de cosenos con diferencia $d = \frac{4\pi}{n}$.
$$ S_2 = \frac{\sin\left(\frac{n \cdot 4\pi}{2n}\right)}{\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)} \cos(\dots) = \frac{\sin(2\pi)}{\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)} \cos(\dots) $$
Como $\sin(2\pi) = 0$, entonces $S_2 = 0$.

4. Conclusión:
$$ \boxed{S = \frac{n}{2}} $$