Iv
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_520
Propio
Enunciado
Demostrar que:
$$ \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha + \dots + \cos n\alpha = \frac{\sin\left(\frac{n\alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \times \cos\left(\frac{(n+1)\alpha}{2}\right) $$
$$ \cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha + \dots + \cos n\alpha = \frac{\sin\left(\frac{n\alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \times \cos\left(\frac{(n+1)\alpha}{2}\right) $$
Solución Paso a Paso
Para demostrar esta sumatoria de cosenos cuyos ángulos están en progresión aritmética, utilizaremos el método del producto por el seno de la mitad de la diferencia común.
1. Datos y fórmulas:
Sea $S$ la suma:
$$ S = \sum_{k=1}^{n} \cos(k\alpha) $$
Usaremos la identidad del producto a suma:
$$ 2 \sin A \cos B = \sin(B+A) - \sin(B-A) $$
2. Desarrollo:
Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por $2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:
$$ 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) S = 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \alpha + 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos 2\alpha + \dots + 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos n\alpha $$
Aplicando la identidad de producto a suma en cada término:
$$ \begin{aligned} 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \alpha &= \sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right) - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \\ 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos 2\alpha &= \sin\left(\frac{5\alpha}{2}\right) - \sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right) \\ \vdots \\ 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos n\alpha &= \sin\left(n\alpha + \frac{\alpha}{2}\right) - \sin\left(n\alpha - \frac{\alpha}{2}\right) \end{aligned} $$
Al sumar todas las ecuaciones, se produce una serie telescópica donde la mayoría de los términos se cancelan:
$$ 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) S = \sin\left(n\alpha + \frac{\alpha}{2}\right) - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$
3. Simplificación:
Usamos la identidad de resta de senos: $\sin C - \sin D = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$.
Donde $C = \frac{(2n+1)\alpha}{2}$ y $D = \frac{\alpha}{2}$:
$$ \begin{aligned} 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) S &= 2 \cos\left(\frac{\frac{(2n+1)\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}}{2}\right) \sin\left(\frac{\frac{(2n+1)\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2}}{2}\right) \\ 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) S &= 2 \cos\left(\frac{(n+1)\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{n\alpha}{2}\right) \end{aligned} $$
Despejando $S$:
$$ \boxed{S = \frac{\sin\left(\frac{n\alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \cos\left(\frac{(n+1)\alpha}{2}\right)} $$
1. Datos y fórmulas:
Sea $S$ la suma:
$$ S = \sum_{k=1}^{n} \cos(k\alpha) $$
Usaremos la identidad del producto a suma:
$$ 2 \sin A \cos B = \sin(B+A) - \sin(B-A) $$
2. Desarrollo:
Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por $2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$:
$$ 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) S = 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \alpha + 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos 2\alpha + \dots + 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos n\alpha $$
Aplicando la identidad de producto a suma en cada término:
$$ \begin{aligned} 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos \alpha &= \sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right) - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \\ 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos 2\alpha &= \sin\left(\frac{5\alpha}{2}\right) - \sin\left(\frac{3\alpha}{2}\right) \\ \vdots \\ 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos n\alpha &= \sin\left(n\alpha + \frac{\alpha}{2}\right) - \sin\left(n\alpha - \frac{\alpha}{2}\right) \end{aligned} $$
Al sumar todas las ecuaciones, se produce una serie telescópica donde la mayoría de los términos se cancelan:
$$ 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) S = \sin\left(n\alpha + \frac{\alpha}{2}\right) - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$
3. Simplificación:
Usamos la identidad de resta de senos: $\sin C - \sin D = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$.
Donde $C = \frac{(2n+1)\alpha}{2}$ y $D = \frac{\alpha}{2}$:
$$ \begin{aligned} 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) S &= 2 \cos\left(\frac{\frac{(2n+1)\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}}{2}\right) \sin\left(\frac{\frac{(2n+1)\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2}}{2}\right) \\ 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) S &= 2 \cos\left(\frac{(n+1)\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{n\alpha}{2}\right) \end{aligned} $$
Despejando $S$:
$$ \boxed{S = \frac{\sin\left(\frac{n\alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \cos\left(\frac{(n+1)\alpha}{2}\right)} $$