Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_518
Propio
Enunciado
Demostrar que:
$$ \cos^{2} \alpha + \cos^{2} (\alpha + \beta) + \cos^{2} (\alpha + 2\beta) + \dots \text{ hasta } n \text{ términos} $$
$$ = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{\sin n\beta}{\sin \beta} \times \cos [2\alpha + (n-1)\beta] $$
$$ \cos^{2} \alpha + \cos^{2} (\alpha + \beta) + \cos^{2} (\alpha + 2\beta) + \dots \text{ hasta } n \text{ términos} $$
$$ = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{\sin n\beta}{\sin \beta} \times \cos [2\alpha + (n-1)\beta] $$
Solución Paso a Paso
1. Degradación de términos:
Usamos $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
$$ S = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1 + \cos(2\alpha + 2k\beta)}{2} = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} \cos(2\alpha + 2k\beta) $$
2. Suma de la progresión de cosenos:
Diferencia $d = 2\beta$, primer ángulo $a = 2\alpha$.
$$ \sum_{k=0}^{n-1} \cos(2\alpha + k(2\beta)) = \frac{\sin \left( \frac{n \cdot 2\beta}{2} \right)}{\sin \left( \frac{2\beta}{2} \right)} \cos \left( 2\alpha + \frac{(n-1)2\beta}{2} \right) $$
$$ = \frac{\sin n\beta}{\sin \beta} \cos(2\alpha + (n-1)\beta) $$
3. Resultado:
Sustituyendo en la expresión de $S$:
$$ \boxed{S = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \frac{\sin n\beta}{\sin \beta} \cos[2\alpha + (n-1)\beta]} $$
Usamos $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
$$ S = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1 + \cos(2\alpha + 2k\beta)}{2} = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} \cos(2\alpha + 2k\beta) $$
2. Suma de la progresión de cosenos:
Diferencia $d = 2\beta$, primer ángulo $a = 2\alpha$.
$$ \sum_{k=0}^{n-1} \cos(2\alpha + k(2\beta)) = \frac{\sin \left( \frac{n \cdot 2\beta}{2} \right)}{\sin \left( \frac{2\beta}{2} \right)} \cos \left( 2\alpha + \frac{(n-1)2\beta}{2} \right) $$
$$ = \frac{\sin n\beta}{\sin \beta} \cos(2\alpha + (n-1)\beta) $$
3. Resultado:
Sustituyendo en la expresión de $S$:
$$ \boxed{S = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \frac{\sin n\beta}{\sin \beta} \cos[2\alpha + (n-1)\beta]} $$