1. Datos y propiedades:
Utilizamos la identidad del ángulo doble para degradar el exponente cuadrático:
$$ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} $$

2. Transformación de la serie:
Sea $S$ la suma de los $n$ términos. Aplicamos la identidad a cada término:
$$ S = \frac{1 + \cos 2x}{2} + \frac{1 + \cos 6x}{2} + \frac{1 + \cos 10x}{2} + \dots \text{ hasta } n \text{ términos} $$
Factorizando $\frac{1}{2}$:
$$ S = \frac{1}{2} \left[ (1 + 1 + 1 + \dots n \text{ veces}) + (\cos 2x + \cos 6x + \cos 10x + \dots + \cos(2(2n-1)x)) \right] $$
$$ S = \frac{1}{2} \left[ n + \sum_{k=1}^{n} \cos(2(2k-1)x) \right] $$

3. Suma de cosenos en progresión aritmética:
La fórmula para una suma de cosenos donde los ángulos están en progresión aritmética es:
$$ \sum_{k=0}^{n-1} \cos(a + kd) = \frac{\sin \left( \frac{nd}{2} \right)}{\sin \left( \frac{d}{2} \right)} \cos \left( a + \frac{(n-1)d}{2} \right) $$
En nuestro caso: $a = 2x$, $d = 4x$.
$$ \sum_{k=1}^{n} \cos(2x + (k-1)4x) = \frac{\sin \left( \frac{n \cdot 4x}{2} \right)}{\sin \left( \frac{4x}{2} \right)} \cos \left( 2x + \frac{(n-1)4x}{2} \right) $$
$$ = \frac{\sin 2nx}{\sin 2x} \cos(2x + 2nx - 2x) = \frac{\sin 2nx \cdot \cos 2nx}{\sin 2x} $$

4. Simplificación final:
Usando $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$, tenemos $\sin 2nx \cos 2nx = \frac{\sin 4nx}{2}$:
$$ S = \frac{1}{2} \left[ n + \frac{\sin 4nx}{2 \sin 2x} \right] $$
$$ \boxed{\cos^{2} x + \cos^{2} 3x + \dots = \frac{1}{2} \left[ n + \frac{\sin 4nx}{2 \sin 2x} \right]} $$