1. Método de la suma telescópica:
Sea $S$ la suma. Multiplicamos ambos miembros por $2\sin(\beta/2)$:
$$ 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) S = \sum_{k=0}^{n-1} 2\cos(\alpha + k\beta)\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) $$

2. Aplicación de identidad de producto a suma:
Usamos $2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$:

• Para $k=0$: $2\cos \alpha \sin(\beta/2) = \sin(\alpha + \beta/2) - \sin(\alpha - \beta/2)$
• Para $k=1$: $2\cos(\alpha+\beta) \sin(\beta/2) = \sin(\alpha + 3\beta/2) - \sin(\alpha + \beta/2)$
• Para $k=2$: $2\cos(\alpha+2\beta) \sin(\beta/2) = \sin(\alpha + 5\beta/2) - \sin(\alpha + 3\beta/2)$
• ...
• Para $k=n-1$: $2\cos(\alpha+(n-1)\beta) \sin(\beta/2) = \sin(\alpha + \frac{(2n-1)\beta}{2}) - \sin(\alpha + \frac{(2n-3)\beta}{2})$

3. Simplificación:
Al sumar todas las ecuaciones, los términos intermedios se cancelan (serie telescópica):
$$ 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) S = \sin\left(\alpha + \frac{(2n-1)\beta}{2}\right) - \sin\left(\alpha - \frac{\beta}{2}\right) $$

4. Transformación de resta a producto:
Usamos $\sin C - \sin D = 2\cos(\frac{C+D}{2})\sin(\frac{C-D}{2})$:
$$ C+D = 2\alpha + (n-1)\beta \implies \frac{C+D}{2} = \alpha + \frac{(n-1)\beta}{2} $$
$$ C-D = n\beta \implies \frac{C-D}{2} = \frac{n\beta}{2} $$
$$ 2\sin\left(\frac{\beta}{2}\right) S = 2\cos\left(\alpha + \frac{(n-1)\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{n\beta}{2}\right) $$

5. Despeje final:
$$ \boxed{ S = \frac{\sin\left(\frac{n\beta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)} \cos\left( \alpha + \frac{(n-1)\beta}{2} \right) } $$