1. Datos y fórmulas útiles:
Utilizaremos la identidad de triple ángulo para reducir la potencia cúbica:
$$ \sin(3x) = 3\sin x - 4\sin^3 x \implies \sin^3 x = \frac{1}{4}(3\sin x - \sin 3x) $$
La serie de senos en progresión aritmética es:
$$ \sum_{k=0}^{n-1} \sin(\alpha + k\beta) = \frac{\sin\left(\frac{n\beta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\beta}{2}\right)} \sin\left( \alpha + \frac{(n-1)\beta}{2} \right) $$

2. Transformación de la serie:
Sea $S$ la suma buscada con $\beta = \frac{2\pi}{n}$:
$$ S = \sum_{k=0}^{n-1} \sin^3 (\alpha + k\beta) = \frac{1}{4} \sum_{k=0}^{n-1} [3\sin(\alpha + k\beta) - \sin(3\alpha + 3k\beta)] $$
Separando en dos sumatorias:
$$ S = \frac{3}{4} \underbrace{\sum_{k=0}^{n-1} \sin(\alpha + k\beta)}_{S_1} - \frac{1}{4} \underbrace{\sum_{k=0}^{n-1} \sin(3\alpha + k(3\beta))}_{S_2} $$

3. Evaluación de las sumatorias:
Para $S_1$, con $\beta = \frac{2\pi}{n}$:
$$ S_1 = \frac{\sin\left(\frac{n \cdot \frac{2\pi}{n}}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} \cdot \sin\left(\alpha + \dots\right) = \frac{\sin(\pi)}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)} \cdot \sin\left(\alpha + \dots\right) $$
Como $\sin(\pi) = 0$, entonces $S_1 = 0$.

Para $S_2$, con $3\beta = \frac{6\pi}{n}$:
$$ S_2 = \frac{\sin\left(\frac{n \cdot \frac{6\pi}{n}}{2}\right)}{\sin\left(\frac{3\pi}{n}\right)} \cdot \sin\left(3\alpha + \dots\right) = \frac{\sin(3\pi)}{\sin\left(\frac{3\pi}{n}\right)} \cdot \sin\left(3\alpha + \dots\right) $$
Como $\sin(3\pi) = 0$, entonces $S_2 = 0$.

4. Conclusión:
Sustituyendo los valores obtenidos:
$$ S = \frac{3}{4}(0) - \frac{1}{4}(0) = 0 $$
$$ \boxed{0 = 0} $$