Iv
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_510
Guía de ejercicios de trigonometría
Enunciado
Demuestre que:
$$ \begin{aligned} & \sin \alpha + \cos(\alpha + \beta) - \sin(\alpha + 2\beta) - \cos(\alpha + 3\beta) + \sin(\alpha + 4\beta) + \dots \text{ hasta } n \text{ términos} \\ &= \frac{\sin\left( \frac{n(2\beta + \pi)}{4} \right)}{\sin\left( \frac{2\beta + \pi}{4} \right)} \times \sin \left\{ \alpha + \frac{(n-1)(2\beta + \pi)}{4} \right\} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} & \sin \alpha + \cos(\alpha + \beta) - \sin(\alpha + 2\beta) - \cos(\alpha + 3\beta) + \sin(\alpha + 4\beta) + \dots \text{ hasta } n \text{ términos} \\ &= \frac{\sin\left( \frac{n(2\beta + \pi)}{4} \right)}{\sin\left( \frac{2\beta + \pi}{4} \right)} \times \sin \left\{ \alpha + \frac{(n-1)(2\beta + \pi)}{4} \right\} \end{aligned} $$
Solución Paso a Paso
1. Transformación a una sola función:
Usamos la propiedad $\cos x = \sin(x + \pi/2)$. La serie se convierte en:
$S = \sin \alpha + \sin(\alpha + \beta + \pi/2) + \sin(\alpha + 2\beta + \pi) + \sin(\alpha + 3\beta + 3\pi/2) + \dots$
Esto es una suma de senos donde los ángulos están en progresión aritmética.
2. Identificación de términos:
3. Aplicación de la fórmula general:
La fórmula para la suma de senos es $S = \frac{\sin(nd/2)}{\sin(d/2)} \sin\left( A + \frac{(n-1)d}{2} \right)$.
Sustituyendo $d/2 = \frac{2\beta + \pi}{4}$:
$$ S = \frac{\sin\left( \frac{n(2\beta + \pi)}{4} \right)}{\sin\left( \frac{2\beta + \pi}{4} \right)} \times \sin \left( \alpha + \frac{(n-1)(2\beta + \pi)}{4} \right) $$
4. Resultado:
$$ \boxed{ S = \frac{\sin\left(\frac{n(2\beta + \pi)}{4}\right)}{\sin\left(\frac{2\beta + \pi}{4}\right)} \sin \left\{ \alpha + \frac{(n-1)(2\beta + \pi)}{4} \right\} } $$
Usamos la propiedad $\cos x = \sin(x + \pi/2)$. La serie se convierte en:
$S = \sin \alpha + \sin(\alpha + \beta + \pi/2) + \sin(\alpha + 2\beta + \pi) + \sin(\alpha + 3\beta + 3\pi/2) + \dots$
Esto es una suma de senos donde los ángulos están en progresión aritmética.
2. Identificación de términos:
- Primer ángulo ($A$): $\alpha$
- Diferencia común ($d$): $\beta + \pi/2 = \frac{2\beta + \pi}{2}$
- Número de términos: $n$
3. Aplicación de la fórmula general:
La fórmula para la suma de senos es $S = \frac{\sin(nd/2)}{\sin(d/2)} \sin\left( A + \frac{(n-1)d}{2} \right)$.
Sustituyendo $d/2 = \frac{2\beta + \pi}{4}$:
$$ S = \frac{\sin\left( \frac{n(2\beta + \pi)}{4} \right)}{\sin\left( \frac{2\beta + \pi}{4} \right)} \times \sin \left( \alpha + \frac{(n-1)(2\beta + \pi)}{4} \right) $$
4. Resultado:
$$ \boxed{ S = \frac{\sin\left(\frac{n(2\beta + \pi)}{4}\right)}{\sin\left(\frac{2\beta + \pi}{4}\right)} \sin \left\{ \alpha + \frac{(n-1)(2\beta + \pi)}{4} \right\} } $$