1. Sustitución trigonométrica:
Sea $x = \tan A$, $y = \tan B$ y $z = \tan C$. La condición $x + y + z = xyz$ implica:
$$ \tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C $$
Esta es la condición necesaria y suficiente para que $A + B + C = n\pi$. Para simplificar, tomamos $n=1$, es decir, $A + B + C = 180^\circ$.

2. Transformación de los términos:
Recordamos la fórmula del ángulo triple para la tangente:
$$ \tan(3\theta) = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1 - 3\tan^2 \theta} $$
Por lo tanto, los términos de la ecuación son:
$\tan(3A)$, $\tan(3B)$ y $\tan(3C)$.

3. Verificación de la suma de ángulos triples:
Si $A + B + C = 180^\circ$, entonces:
$$ 3A + 3B + 3C = 3(A + B + C) = 3(180^\circ) = 540^\circ $$
Puesto que $540^\circ$ es un múltiplo de $180^\circ$ ($3\pi$), se cumple la propiedad de que la suma de sus tangentes es igual a su producto.

4. Conclusión:
$$ \tan(3A) + \tan(3B) + \tan(3C) = \tan(3A) \tan(3B) \tan(3C) $$
Sustituyendo de regreso los valores de $x, y, z$:
$$ \boxed{ \sum \frac{3x-x^3}{1-3x^2} = \prod \frac{3x-x^3}{1-3x^2} } $$