1. Datos y sustitución:
Dada la condición $xy + yz + zx = 1$, podemos realizar una sustitución trigonométrica. Sea $x = \tan A$, $y = \tan B$ y $z = \tan C$. La condición se transforma en:
$$ \tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1 $$
Esta es una propiedad conocida para los ángulos de un triángulo donde $A + B + C = 90^\circ$ (o $\pi/2$ radianes).

2. Transformación de los términos:
Utilizamos la identidad del ángulo doble: $\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$.
Entonces, cada término de la izquierda se puede expresar como:
$$ \frac{x}{1-x^2} = \frac{\tan A}{1-\tan^2 A} = \frac{1}{2} \tan(2A) $$
De igual forma para $y$ y $z$. El lado izquierdo (L.I.) queda:
$$ L.I. = \frac{1}{2} [\tan(2A) + \tan(2B) + \tan(2C)] $$

3. Propiedad de tangentes:
Si $A+B+C = 90^\circ$, entonces $2A+2B+2C = 180^\circ$. Para ángulos cuya suma es $180^\circ$, se cumple:
$$ \tan(2A) + \tan(2B) + \tan(2C) = \tan(2A)\tan(2B)\tan(2C) $$
Sustituyendo esto en el L.I.:
$$ L.I. = \frac{1}{2} \tan(2A)\tan(2B)\tan(2C) $$

4. Desarrollo del lado derecho (L.D.):
Sustituimos $x, y, z$ en términos de tangentes:
$$ L.D. = \frac{4 \tan A \tan B \tan C}{(1-\tan^2 A)(1-\tan^2 B)(1-\tan^2 C)} $$
Notamos que $\frac{2 \tan A}{1-\tan^2 A} = \tan(2A)$. Podemos reescribir el L.D. como:
$$ L.D. = \frac{1}{2} \left( \frac{2\tan A}{1-\tan^2 A} \right) \left( \frac{2\tan B}{1-\tan^2 B} \right) \left( \frac{2\tan C}{1-\tan^2 C} \right) \cdot \frac{1}{ \text{ajuste} } $$
En realidad, $L.D. = \frac{1}{2} \tan(2A)\tan(2B)\tan(2C)$.

5. Conclusión:
Como $L.I. = L.D.$, la identidad queda demostrada.
$$ \boxed{ \frac{x}{1-x^2} + \frac{y}{1-y^2} + \frac{z}{1-z^2} = \frac{4xyz}{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)} } $$