1. Datos:
Se sabe que $A + B + C = \pi$. Multiplicando por 2:
$$ 2A + 2B + 2C = 2\pi $$

2. Desarrollo:
Sea $X = 2A, Y = 2B, Z = 2C$. Entonces $X + Y + Z = 2\pi$.
Partimos de $X + Y = 2\pi - Z$:
$$ \tan(X + Y) = \tan(2\pi - Z) $$
Dado que la tangente tiene periodo $\pi$, $\tan(2\pi - Z) = \tan(-Z) = -\tan Z$.
$$ \frac{\tan X + \tan Y}{1 - \tan X \tan Y} = -\tan Z $$
$$ \tan X + \tan Y = -\tan Z + \tan X \tan Y \tan Z $$
$$ \tan X + \tan Y + \tan Z = \tan X \tan Y \tan Z $$
Sustituyendo nuevamente los valores originales:
$$ \boxed{\tan 2A + \tan 2B + \tan 2C = \tan 2A \tan 2B \tan 2C} $$