1. Datos y propiedades:
Se tiene la condición $A + B + C = \frac{\pi}{2}$, lo que implica $C = \frac{\pi}{2} - (A + B)$.
Usaremos las siguientes identidades:

• $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$


• $\cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$


• $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$

2. Desarrollo:
Partimos del miembro izquierdo (L.H.S.):
$$ L = \sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C $$
Sustituimos las formas de ángulo doble:
$$ L = \frac{1 - \cos 2A}{2} + \frac{1 - \cos 2B}{2} + \sin^2 C $$
$$ L = 1 - \frac{1}{2}(\cos 2A + \cos 2B) + \sin^2 C $$
Aplicamos la transformación de suma a producto para $(\cos 2A + \cos 2B)$:
$$ L = 1 - \frac{1}{2} [ 2 \cos(A+B) \cos(A-B) ] + \sin^2 C $$
$$ L = 1 - \cos(A+B) \cos(A-B) + \sin^2 C $$
Como $A + B = \frac{\pi}{2} - C$, entonces $\cos(A+B) = \cos(\frac{\pi}{2} - C) = \sin C$:
$$ L = 1 - \sin C \cos(A-B) + \sin^2 C $$
Factorizamos $\sin C$:
$$ L = 1 - \sin C [\cos(A-B) - \sin C] $$
Nuevamente, sustituimos $\sin C = \cos(A+B)$:
$$ L = 1 - \sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)] $$
Usando la identidad $\cos(x-y) - \cos(x+y) = 2 \sin x \sin y$:
$$ L = 1 - \sin C [2 \sin A \sin B] $$
$$ L = 1 - 2 \sin A \sin B \sin C $$

3. Conclusión:
Se ha verificado que:
$$ \boxed{\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 1 - 2 \sin A \sin B \sin C} $$