1. Datos y Propiedades:

• Condición: $A + B + C = \pi \implies A + B = \pi - C$.
• Identidad de suma a producto: $\sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$.
• Identidad de ángulo doble: $\sin 2C = 2 \sin C \cos C$.

2. Desarrollo:
Agrupamos los dos primeros términos del lado izquierdo:
$$ E = (\sin 2A + \sin 2B) + \sin 2C $$
Aplicando la transformación de suma a producto en el paréntesis:
$$ E = 2 \sin(A+B) \cos(A-B) + 2 \sin C \cos C $$
Como $A+B = \pi - C$, entonces $\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C$:
$$ E = 2 \sin C \cos(A-B) + 2 \sin C \cos C $$
Factorizamos $2 \sin C$:
$$ E = 2 \sin C [ \cos(A-B) + \cos C ] $$
Dado que $C = \pi - (A+B)$, entonces $\cos C = \cos(\pi - (A+B)) = -\cos(A+B)$:
$$ E = 2 \sin C [ \cos(A-B) - \cos(A+B) ] $$
Usando la identidad de diferencia de cosenos $\cos(x-y) - \cos(x+y) = 2 \sin x \sin y$:
$$ E = 2 \sin C [ 2 \sin A \sin B ] $$
$$ \boxed{\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C} $$