1. Datos:
Sea $\alpha = \frac{2\pi}{7}$. La expresión es $m = \sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 4\alpha$.
Es una suma conocida en los polígonos de 7 lados relacionados con las raíces de la unidad.

2. Procedimiento:
Elevamos $m$ al cuadrado o usamos la fórmula de Gauss para sumas trigonométricas. Para un heptágono, se sabe que:
$$ \sum_{k=1}^{3} \sin\left(\frac{2k\pi}{7}\right) = \frac{\sqrt{7}}{2} $$
Verifiquemos los términos de $m$:

• $\sin(2\pi/7)$ (positivo)


• $\sin(4\pi/7)$ (positivo)


• $\sin(8\pi/7) = -\sin(\pi/7)$ (negativo)

Esta suma específica $m = \sin\frac{2\pi}{7} + \sin\frac{4\pi}{7} + \sin\frac{8\pi}{7}$ es igual a $\frac{\sqrt{7}}{2}$.

3. Cálculo final:
Sustituimos el valor de $m$ en la expresión requerida:
$$ E = 2m + 2 - \sqrt{7} $$
$$ E = 2\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right) + 2 - \sqrt{7} $$
$$ E = \sqrt{7} + 2 - \sqrt{7} $$
$$ E = 2 $$

4. Resultado:
$$ \boxed{2} $$