1. Identidad auxiliar:
Sabemos que $\tan \theta \tan(60^\circ - \theta) = \frac{\tan 3\theta}{\tan(60^\circ + \theta)}$.

• Para $m$: Sea $\theta = 12^\circ$. Entonces $\tan 12^\circ \tan(60-12) = \tan 12^\circ \tan 48^\circ = \frac{\tan 36^\circ}{\tan 72^\circ}$.


• Para $n$: Sea $\theta = 6^\circ$. Entonces $\tan 6^\circ \tan(60+6) = \tan 6^\circ \tan 66^\circ$. De la identidad $\tan 3\theta = \tan \theta \tan(60-\theta) \tan(60+\theta)$, tenemos $n = \frac{\tan 18^\circ}{\tan 54^\circ}$.

2. Relación $m/n$:
$$ \frac{m}{n} = \frac{\frac{\tan 36^\circ}{\tan 72^\circ}}{\frac{\tan 18^\circ}{\tan 54^\circ}} = \frac{\tan 36^\circ \tan 54^\circ}{\tan 72^\circ \tan 18^\circ} $$
Como $\tan 54^\circ = \cot 36^\circ$ y $\tan 72^\circ = \cot 18^\circ$:
$$ \frac{m}{n} = \frac{\tan 36^\circ \cot 36^\circ}{\cot 18^\circ \tan 18^\circ} = \frac{1}{1} = 1 $$

3. Cálculo final:
$$ \frac{m}{n} + 10 = 1 + 10 = 11 $$

Resultado:
$$ \boxed{11} $$