1. Datos y propiedades:
Utilizaremos la identidad de producto a suma:
$$ \sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] $$
Y la propiedad: $\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$.

2. Desarrollo paso a paso:
Sea $E = \sin 12^\circ \sin 48^\circ \sin 54^\circ$. Agrupamos los dos primeros términos:
$$ E = \left( \sin 48^\circ \sin 12^\circ \right) \sin 54^\circ $$
Aplicando la identidad de producto:
$$ E = \frac{1}{2} [\cos(48^\circ - 12^\circ) - \cos(48^\circ + 12^\circ)] \sin 54^\circ $$
$$ E = \frac{1}{2} [\cos 36^\circ - \cos 60^\circ] \sin 54^\circ $$
Sabemos que $\cos 60^\circ = 1/2$ y $\sin 54^\circ = \cos 36^\circ$:
$$ E = \frac{1}{2} \left[ \cos 36^\circ - \frac{1}{2} \right] \cos 36^\circ $$
$$ E = \frac{1}{2} \cos^2 36^\circ - \frac{1}{4} \cos 36^\circ $$
Utilizando el valor notable $\cos 36^\circ = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$:
$$ E = \frac{1}{2} \left( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right)^2 - \frac{1}{4} \left( \frac{1+\sqrt{5}}{4} \right) $$
$$ E = \frac{1}{2} \left( \frac{1+5+2\sqrt{5}}{16} \right) - \frac{1+\sqrt{5}}{16} $$
$$ E = \frac{6+2\sqrt{5}}{32} - \frac{2+2\sqrt{5}}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} $$

Resultado:
$$ \boxed{\frac{1}{8}} $$