1. Relaciones de suplementarios:

• $\cos \frac{7\pi}{8} = \cos (\pi - \frac{\pi}{8}) = -\cos \frac{\pi}{8}$
• $\cos \frac{5\pi}{8} = \cos (\pi - \frac{3\pi}{8}) = -\cos \frac{3\pi}{8}$

2. Desarrollo del producto:
Sustituyendo en la expresión original:
$$ \left( 1 + \cos \frac{\pi}{8} \right) \left( 1 + \cos \frac{3\pi}{8} \right) \left( 1 - \cos \frac{3\pi}{8} \right) \left( 1 - \cos \frac{\pi}{8} \right) $$
Agrupamos por diferencia de cuadrados:
$$ \left( 1 - \cos^2 \frac{\pi}{8} \right) \left( 1 - \cos^2 \frac{3\pi}{8} \right) = \sin^2 \frac{\pi}{8} \sin^2 \frac{3\pi}{8} $$
Como $\frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$, entonces $\sin \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8}$:
$$ \sin^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{\pi}{8} = \left( \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} \right)^2 $$

3. Ángulo doble:
Usamos $\sin A \cos A = \frac{1}{2} \sin 2A$:
$$ \left( \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{4} \right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 \frac{\pi}{4} $$
Como $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$$ \frac{1}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} $$

4. Conclusión:
$$ \boxed{\frac{1}{8}} $$