1. Propiedades de ángulos medios:
Recordamos que:

• $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$
• $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$
• $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$

2. Desarrollo paso a paso:
Reorganizamos el numerador y el denominador de la fracción original:
$$ \frac{(1 - \cos \theta) + \sin \theta}{(1 + \cos \theta) + \sin \theta} $$

Sustituimos las equivalencias de ángulo medio:
$$ \frac{2 \sin^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2} + 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} $$

Factorizamos el numerador y el denominador:
$$ \frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \left( \sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2} \right)}{2 \cos \frac{\theta}{2} \left( \cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2} \right)} $$

Simplificamos el término común $( \sin \frac{\theta}{2} + \cos \frac{\theta}{2} )$ y el factor 2:
$$ \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} = \tan \frac{\theta}{2} $$

3. Conclusión:
$$ \boxed{\frac{1 + \sin \theta - \cos \theta}{1 + \sin \theta + \cos \theta} = \tan \frac{\theta}{2}} $$