1. Datos y propiedades:
Para realizar la demostración, utilizaremos las definiciones básicas de las funciones tangente y cotangente, además de la identidad del ángulo doble para el seno:

• $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
• $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$
• $\sin 2x = 2 \sin x \cos x \implies \sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$

2. Desarrollo paso a paso:
Partimos del miembro izquierdo de la ecuación ($MI$):
$$ MI = \tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2} $$

Expresamos en términos de seno y coseno:
$$ MI = \frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}} + \frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} $$

Efectuamos la suma de fracciones buscando un denominador común:
$$ MI = \frac{\sin^2 \frac{\theta}{2} + \cos^2 \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} $$

Aplicamos la identidad fundamental $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$:
$$ MI = \frac{1}{\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} $$

Para obtener el ángulo doble en el denominador, multiplicamos numerador y denominador por 2:
$$ MI = \frac{2}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} $$

Sustituimos la identidad del ángulo doble $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$:
$$ MI = \frac{2}{\sin \theta} $$

Finalmente, aplicamos la definición de cosecante ($ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} $):
$$ MI = 2 \csc \theta $$

3. Conclusión:
Se ha verificado que:
$$ \boxed{\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2} = 2 \csc \theta} $$