Tomamos el producto $P = \prod_{k=1}^n (1 + \sec 2^k \theta)$.
Utilizamos la identidad fundamental:
$$ 1 + \sec \phi = \frac{1 + \cos \phi}{\cos \phi} = \frac{2 \cos^2(\phi/2)}{\cos \phi} $$
Multiplicamos este resultado por $\frac{\sin(\phi/2)}{\sin(\phi/2)}$:
$$ 1 + \sec \phi = \frac{2 \sin(\phi/2) \cos(\phi/2) \cos(\phi/2)}{\sin(\phi/2) \cos \phi} = \frac{\sin \phi \cos(\phi/2)}{\sin(\phi/2) \cos \phi} = \frac{\tan \phi}{\tan(\phi/2)} $$
Sustituyendo $\phi = 2^k \theta$:
$$ (1 + \sec 2^k \theta) = \frac{\tan 2^k \theta}{\tan 2^{k-1} \theta} $$
Escribimos el producto expandido:
$$ P = \left( \frac{\tan 2\theta}{\tan \theta} \right) \left( \frac{\tan 4\theta}{\tan 2\theta} \right) \left( \frac{\tan 8\theta}{\tan 4\theta} \right) \dots \left( \frac{\tan 2^n \theta}{\tan 2^{n-1} \theta} \right) $$
Notamos que cada numerador se cancela con el denominador del siguiente término, excepto el primer denominador y el último numerador:
$$ P = \frac{\cancel{\tan 2\theta}}{\tan \theta} \cdot \frac{\cancel{\tan 4\theta}}{\cancel{\tan 2\theta}} \dots \cdot \frac{\tan 2^n \theta}{\cancel{\tan 2^{n-1} \theta}} $$
Por lo tanto:
$$ \boxed{\frac{\tan 2^n \theta}{\tan \theta}} $$