1. Datos y fórmulas:
Utilizaremos la identidad del seno del ángulo triple para despejar el término cúbico:
$$ \sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta \implies \sin^3 \theta = \frac{3\sin \theta - \sin 3\theta}{4} $$

2. Desarrollo paso a paso:
Aplicamos la identidad a cada término de la expresión de la izquierda ($L$):
$$ \begin{aligned} L &= \frac{3\sin \alpha - \sin 3\alpha}{4} + \frac{3\sin(\frac{2\pi}{3} + \alpha) - \sin(2\pi + 3\alpha)}{4} + \frac{3\sin(\frac{4\pi}{3} + \alpha) - \sin(4\pi + 3\alpha)}{4} \\ L &= \frac{1}{4} \left[ 3 \left( \sin \alpha + \sin\left(\frac{2\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{4\pi}{3} + \alpha\right) \right) - (\sin 3\alpha + \sin 3\alpha + \sin 3\alpha) \right] \end{aligned} $$
Notamos que $\sin(2\pi + 3\alpha) = \sin 3\alpha$ y $\sin(4\pi + 3\alpha) = \sin 3\alpha$.
Ahora simplificamos la suma de senos usando transformaciones:
$$ \sin\left(\frac{2\pi}{3} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{4\pi}{3} + \alpha\right) = 2\sin\left(\frac{\frac{2\pi}{3}+\alpha + \frac{4\pi}{3}+\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{2\pi}{3}+\alpha - (\frac{4\pi}{3}+\alpha)}{2}\right) $$
$$ = 2\sin(\pi + \alpha) \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = 2(-\sin \alpha) \left(\frac{1}{2}\right) = -\sin \alpha $$
Sustituyendo esto en la expresión:
$$ L = \frac{1}{4} \left[ 3(\sin \alpha - \sin \alpha) - 3\sin 3\alpha \right] = \frac{1}{4} [0 - 3\sin 3\alpha] $$
$$ \boxed{L = -\frac{3}{4} \sin 3\alpha} $$