1. Desarrollo:
Expresamos en términos de seno y coseno:
$$ L = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^\circ} - \frac{1}{\cos 20^\circ} = \frac{\sqrt{3} \cos 20^\circ - \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ} $$
Multiplicamos y dividimos el numerador por 2:
$$ L = \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ - \frac{1}{2} \sin 20^\circ \right)}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ} $$
Notamos que $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60^\circ$ y $\frac{1}{2} = \cos 60^\circ$:
$$ L = \frac{2 (\sin 60^\circ \cos 20^\circ - \cos 60^\circ \sin 20^\circ)}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ} $$
Usando $\sin(A-B)$:
$$ L = \frac{2 \sin(60^\circ - 20^\circ)}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ} = \frac{2 \sin 40^\circ}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ} $$
Usando ángulo doble en el denominador $2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$:
$$ L = \frac{2 \sin 40^\circ}{\frac{1}{2} \sin 40^\circ} = 2 \cdot 2 = 4 $$

2. Resultado:
$$ \boxed{4 = 4} $$