1. Datos y propiedades:
Utilizaremos las identidades de ángulos suplementarios y la diferencia de cuadrados:

• $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$
• $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$
• $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$

2. Desarrollo:
Observemos las relaciones entre los ángulos:
$\frac{7\pi}{8} = \pi - \frac{\pi}{8} \implies \cos\left(\frac{7\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$
$\frac{5\pi}{8} = \pi - \frac{3\pi}{8} \implies \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) = -\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)$

Sustituyendo en la expresión original $E$:
$$ E = \left(1 + \cos\frac{\pi}{8}\right)\left(1 + \cos\frac{3\pi}{8}\right)\left(1 - \cos\frac{3\pi}{8}\right)\left(1 - \cos\frac{\pi}{8}\right) $$
Agrupando por diferencia de cuadrados:
$$ E = \left(1 - \cos^2\frac{\pi}{8}\right)\left(1 - \cos^2\frac{3\pi}{8}\right) = \sin^2\frac{\pi}{8} \cdot \sin^2\frac{3\pi}{8} $$
Como $\frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$, entonces $\sin\frac{3\pi}{8} = \cos\frac{\pi}{8}$:
$$ E = \sin^2\frac{\pi}{8} \cdot \cos^2\frac{\pi}{8} = \left( \sin\frac{\pi}{8} \cos\frac{\pi}{8} \right)^2 $$
Usando la identidad del ángulo doble $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$:
$$ E = \left( \frac{1}{2} \sin\frac{\pi}{4} \right)^2 = \frac{1}{4} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1}{8} $$

3. Resultado:
$$ \boxed{\frac{1}{8}} $$