1. Desarrollo de la expresión objetivo:
Sabemos que $\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$.
Sustituimos la condición $\tan \alpha = \frac{\tan \beta}{3}$:
$$ \tan (\alpha + \beta) = \frac{\frac{\tan \beta}{3} + \tan \beta}{1 - \frac{\tan \beta}{3} \cdot \tan \beta} = \frac{\frac{4 \tan \beta}{3}}{\frac{3 - \tan^2 \beta}{3}} = \frac{4 \tan \beta}{3 - \tan^2 \beta} $$

2. Expresión en términos de senos y cosenos:
$$ \tan (\alpha + \beta) = \frac{4 \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{3 - \frac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta}} = \frac{4 \sin \beta \cos \beta}{3 \cos^2 \beta - \sin^2 \beta} $$
Utilizamos $2 \sin \beta \cos \beta = \sin 2\beta$:
$$ \tan (\alpha + \beta) = \frac{2 \sin 2\beta}{3 \cos^2 \beta - \sin^2 \beta} $$

3. Ajuste del denominador:
Usamos identidades de reducción: $\cos^2 \beta = \frac{1 + \cos 2\beta}{2}$ y $\sin^2 \beta = \frac{1 - \cos 2\beta}{2}$:
$$ \text{Denominador} = 3\left(\frac{1 + \cos 2\beta}{2}\right) - \left(\frac{1 - \cos 2\beta}{2}\right) $$
$$ = \frac{3 + 3 \cos 2\beta - 1 + \cos 2\beta}{2} = \frac{2 + 4 \cos 2\beta}{2} = 1 + 2 \cos 2\beta $$

4. Resultado:
Sustituyendo el denominador:
$$ \boxed{\tan (\alpha + \beta) = \frac{2 \sin 2\beta}{1 + 2 \cos 2\beta}} $$