1. Identidades auxiliares:

• $(\sin x \pm \cos x)^2 = 1 \pm 2 \sin x \cos x$


• $\sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x$

2. Desarrollo por partes:

Primer término: $3(\sin x - \cos x)^4$
$$ 3[(\sin x - \cos x)^2]^2 = 3[1 - 2 \sin x \cos x]^2 $$
$$ 3[1 - 4 \sin x \cos x + 4 \sin^2 x \cos^2 x] = 3 - 12 \sin x \cos x + 12 \sin^2 x \cos^2 x $$

Segundo término: $6(\sin x + \cos x)^2$
$$ 6(1 + 2 \sin x \cos x) = 6 + 12 \sin x \cos x $$

Tercer término: $4(\sin^6 x + \cos^6 x)$
$$ 4(1 - 3 \sin^2 x \cos^2 x) = 4 - 12 \sin^2 x \cos^2 x $$

3. Suma total:
Sumamos los resultados:
$$ (3 - 12 \sin x \cos x + 12 \sin^2 x \cos^2 x) + (6 + 12 \sin x \cos x) + (4 - 12 \sin^2 x \cos^2 x) $$

Cancelamos los términos opuestos:
$$ 3 + 6 + 4 \underbrace{- 12 \sin x \cos x + 12 \sin x \cos x}_{0} \underbrace{+ 12 \sin^2 x \cos^2 x - 12 \sin^2 x \cos^2 x}_{0} $$
$$ 3 + 6 + 4 = 13 $$

Por lo tanto:
$$ \boxed{13 = 13} $$