1. Datos del problema:
Se nos da la relación inicial $a + \frac{1}{a} = 2 \cos \theta$. Debemos elevar potencias sucesivamente para llegar al exponente 4.

2. Fórmulas a utilizar:

• Cuadrado de un binomio: $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$


• Identidad del ángulo doble: $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$, lo que implica $2 \cos^2 \alpha = 1 + \cos 2\alpha$.

3. Desarrollo paso a paso:

Elevamos al cuadrado la condición inicial:
$$ \left( a + \frac{1}{a} \right)^2 = (2 \cos \theta)^2 $$
$$ a^2 + \frac{1}{a^2} + 2(a)\left(\frac{1}{a}\right) = 4 \cos^2 \theta $$
$$ a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 = 4 \cos^2 \theta $$

Despejamos $a^2 + \frac{1}{a^2}$:
$$ a^2 + \frac{1}{a^2} = 4 \cos^2 \theta - 2 $$
$$ a^2 + \frac{1}{a^2} = 2(2 \cos^2 \theta - 1) $$

Aplicando la identidad del ángulo doble $\cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1$:
$$ a^2 + \frac{1}{a^2} = 2 \cos 2\theta $$

Elevamos nuevamente al cuadrado para obtener la potencia cuarta:
$$ \left( a^2 + \frac{1}{a^2} \right)^2 = (2 \cos 2\theta)^2 $$
$$ a^4 + \frac{1}{a^4} + 2(a^2)\left(\frac{1}{a^2}\right) = 4 \cos^2 2\theta $$
$$ a^4 + \frac{1}{a^4} + 2 = 4 \cos^2 2\theta $$

Despejamos el término final:
$$ a^4 + \frac{1}{a^4} = 4 \cos^2 2\theta - 2 $$
$$ a^4 + \frac{1}{a^4} = 2(2 \cos^2 2\theta - 1) $$

Usando nuevamente la identidad del ángulo doble, donde el ángulo es $2\theta$:
$$ \cos 2(2\theta) = 2 \cos^2 2\theta - 1 \implies \cos 4\theta = 2 \cos^2 2\theta - 1 $$

Sustituyendo obtenemos el resultado:
$$ \boxed{a^4 + \frac{1}{a^4} = 2 \cos 4\theta} $$