Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_429
Propio
Enunciado
Si $\tan 25^{\circ} = a$, demostrar que:
$$ \frac{\tan 155^{\circ} - \tan 115^{\circ}}{1 + \tan 155^{\circ} \cdot \tan 115^{\circ}} = \frac{1 - a^{2}}{2a} $$
$$ \frac{\tan 155^{\circ} - \tan 115^{\circ}}{1 + \tan 155^{\circ} \cdot \tan 115^{\circ}} = \frac{1 - a^{2}}{2a} $$
Solución Paso a Paso
1. Reducción de ángulos:
2. Sustitución en la fórmula:
La expresión tiene la forma $\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}$, donde $x = 155^{\circ}$ y $y = 115^{\circ}$.
$$ \tan(155^{\circ} - 115^{\circ}) = \tan(40^{\circ}) $$
Sin embargo, evaluemos con los valores de $a$:
$$ \frac{(-a) - (-1/a)}{1 + (-a)(-1/a)} = \frac{-a + \frac{1}{a}}{1 + 1} = \frac{\frac{1-a^2}{a}}{2} = \frac{1-a^2}{2a} $$
3. Conclusión:
El resultado coincide con el valor solicitado.
$$ \boxed{\frac{1 - a^{2}}{2a}} $$
- $\tan 155^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 25^{\circ}) = -\tan 25^{\circ} = -a$
- $\tan 115^{\circ} = \tan(90^{\circ} + 25^{\circ}) = -\cot 25^{\circ} = -\frac{1}{a}$
2. Sustitución en la fórmula:
La expresión tiene la forma $\tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}$, donde $x = 155^{\circ}$ y $y = 115^{\circ}$.
$$ \tan(155^{\circ} - 115^{\circ}) = \tan(40^{\circ}) $$
Sin embargo, evaluemos con los valores de $a$:
$$ \frac{(-a) - (-1/a)}{1 + (-a)(-1/a)} = \frac{-a + \frac{1}{a}}{1 + 1} = \frac{\frac{1-a^2}{a}}{2} = \frac{1-a^2}{2a} $$
3. Conclusión:
El resultado coincide con el valor solicitado.
$$ \boxed{\frac{1 - a^{2}}{2a}} $$