1. Propiedades a utilizar:

• $\sec \theta - 1 = \frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta} = \frac{2 \sin^2 (\theta/2)}{\cos \theta}$
• $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$
• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

2. Desarrollo:
Transformamos el numerador y denominador del lado izquierdo ($LHS$):
$$ \frac{\frac{1 - \cos 8A}{\cos 8A}}{\frac{1 - \cos 4A}{\cos 4A}} = \frac{1 - \cos 8A}{\cos 8A} \cdot \frac{\cos 4A}{1 - \cos 4A} $$

Usando la identidad de ángulo mitad $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$:
$$ LHS = \frac{2 \sin^2 4A}{\cos 8A} \cdot \frac{\cos 4A}{2 \sin^2 2A} = \frac{(2 \sin 4A \cos 4A) \cdot \sin 4A}{\cos 8A \cdot 2 \sin^2 2A} $$

Sustituyendo $2 \sin 4A \cos 4A = \sin 8A$:
$$ LHS = \frac{\sin 8A \cdot \sin 4A}{\cos 8A \cdot 2 \sin^2 2A} = \tan 8A \cdot \frac{2 \sin 2A \cos 2A}{2 \sin^2 2A} $$

Simplificando $\sin 2A$:
$$ LHS = \tan 8A \cdot \frac{\cos 2A}{\sin 2A} = \tan 8A \cdot \cot 2A = \frac{\tan 8A}{\tan 2A} $$

3. Conclusión:
Se ha llegado al lado derecho de la igualdad.
$$ \boxed{\frac{\tan 8A}{\tan 2A} = \frac{\tan 8A}{\tan 2A}} $$