1. Datos y propiedades:
Utilizaremos la identidad del ángulo suplementario $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$, lo cual implica que $\cos^2(\pi - \theta) = \cos^2 \theta$.
También usaremos la relación entre ángulos complementarios: $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$.

2. Desarrollo paso a paso:
Relacionamos los términos de la expresión:

• Para el cuarto término: $\frac{7\pi}{8} = \pi - \frac{\pi}{8} \implies \cos^2\left(\frac{7\pi}{8}\right) = \cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
• Para el tercer término: $\frac{5\pi}{8} = \pi - \frac{3\pi}{8} \implies \cos^2\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)$.

Sustituyendo en la expresión original $E$:
$$ E = 2 \left[ \cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) + \cos^2\left( \frac{3\pi}{8} \right) \right] $$

Ahora, notamos que $\frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$. Por identidad de ángulos complementarios:
$$ \cos\left( \frac{3\pi}{8} \right) = \sin\left( \frac{\pi}{8} \right) \implies \cos^2\left( \frac{3\pi}{8} \right) = \sin^2\left( \frac{\pi}{8} \right) $$

Sustituyendo nuevamente:
$$ E = 2 \left[ \cos^2\left( \frac{\pi}{8} \right) + \sin^2\left( \frac{\pi}{8} \right) \right] $$

Aplicando la identidad pitagórica $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$:
$$ E = 2(1) = 2 $$

3. Conclusión:
Se verifica la igualdad.
$$ \boxed{2 = 2} $$