1. Fórmulas de ángulo doble en función de la tangente:

• $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$
• $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$

2. Sustitución:
Reemplazamos $\tan \theta = \frac{b}{a}$ en el miembro izquierdo de la ecuación ($E$):
$$ E = a \left( \frac{1 - (\frac{b}{a})^2}{1 + (\frac{b}{a})^2} \right) + b \left( \frac{2(\frac{b}{a})}{1 + (\frac{b}{a})^2} \right) $$

Simplificamos el término de la izquierda:
$$ a \left( \frac{\frac{a^2 - b^2}{a^2}}{\frac{a^2 + b^2}{a^2}} \right) = a \left( \frac{a^2 - b^2}{a^2 + b^2} \right) = \frac{a^3 - ab^2}{a^2 + b^2} $$

Simplificamos el término de la derecha:
$$ b \left( \frac{\frac{2b}{a}}{\frac{a^2 + b^2}{a^2}} \right) = b \left( \frac{2ab}{a^2 + b^2} \right) = \frac{2ab^2}{a^2 + b^2} $$

Sumamos ambos términos:
$$ E = \frac{a^3 - ab^2 + 2ab^2}{a^2 + b^2} = \frac{a^3 + ab^2}{a^2 + b^2} $$

Factorizamos $a$ en el numerador:
$$ E = \frac{a(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = a $$

$$ \boxed{a \cos 2\theta + b \sin 2\theta = a} $$