1. Datos del problema:
Partimos de la igualdad $\csc A + \sec A = \csc B + \sec B$.

2. Desarrollo paso a paso:
Reescribimos en términos de seno y coseno:
$$ \frac{1}{\sin A} + \frac{1}{\cos A} = \frac{1}{\sin B} + \frac{1}{\cos B} $$
Agrupamos términos similares:
$$ \frac{1}{\sin A} - \frac{1}{\sin B} = \frac{1}{\cos B} - \frac{1}{\cos A} $$
$$ \frac{\sin B - \sin A}{\sin A \sin B} = \frac{\cos A - \cos B}{\cos A \cos B} $$

Aplicamos fórmulas de transformación:
$$ \frac{2 \cos\left(\frac{B+A}{2}\right) \sin\left(\frac{B-A}{2}\right)}{\sin A \sin B} = \frac{2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{B-A}{2}\right)}{\cos A \cos B} $$

Cancelamos $2 \sin\left(\frac{B-A}{2}\right)$ (asumiendo $A \neq B$):
$$ \frac{\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)}{\sin A \sin B} = \frac{\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)}{\cos A \cos B} $$
Rearreglamos:
$$ \frac{\cos A \cos B}{\sin A \sin B} = \frac{\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)}{\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)} $$
$$ \cot A \cot B = \tan\left(\frac{A+B}{2}\right) $$

Invirtiendo ambos lados obtenemos la forma pedida:
$$ \tan A \tan B = \frac{1}{\tan\left(\frac{A+B}{2}\right)} = \cot\left(\frac{A+B}{2}\right) $$

3. Resultado final:
$$ \boxed{\tan A \tan B = \cot\left(\frac{A+B}{2}\right)} $$