1. Datos del problema:
Se nos pide demostrar una igualdad simplificando el miembro izquierdo de la ecuación.

2. Propiedades a utilizar:
Utilizaremos las fórmulas de transformación de suma a producto:

• $\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
• $\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$

3. Desarrollo paso a paso:
Agrupamos los términos de los extremos en el numerador y el denominador para facilitar la transformación:
$$ \text{M.I.} = \frac{(\cos 4x + \cos 2x) + \cos 3x}{(\sin 4x + \sin 2x) + \sin 3x} $$

Aplicamos las fórmulas de suma a producto para el primer paréntesis de cada término:
Para el numerador: $\cos 4x + \cos 2x = 2 \cos 3x \cos x$
Para el denominador: $\sin 4x + \sin 2x = 2 \sin 3x \cos x$

Sustituimos en la expresión:
$$ \text{M.I.} = \frac{2 \cos 3x \cos x + \cos 3x}{2 \sin 3x \cos x + \sin 3x} $$

Factorizamos el término común $\cos 3x$ arriba y $\sin 3x$ abajo:
$$ \text{M.I.} = \frac{\cos 3x (2 \cos x + 1)}{\sin 3x (2 \cos x + 1)} $$

Simplificamos el factor común $(2 \cos x + 1)$:
$$ \text{M.I.} = \frac{\cos 3x}{\sin 3x} = \cot 3x $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\cot 3x = \cot 3x} $$