1. Reordenar términos:
Agrupamos el primer y el tercer término del numerador y denominador para aplicar las fórmulas de suma a producto:
$$ MI = \frac{(\sin 5A + \sin A) + \sin 3A}{(\cos 5A + \cos A) + \cos 3A} $$

2. Aplicar transformaciones:

• Numerador: $\sin 5A + \sin A = 2 \sin \left( \frac{5A+A}{2} \right) \cos \left( \frac{5A-A}{2} \right) = 2 \sin 3A \cos 2A$
• Denominador: $\cos 5A + \cos A = 2 \cos \left( \frac{5A+A}{2} \right) \cos \left( \frac{5A-A}{2} \right) = 2 \cos 3A \cos 2A$

3. Sustituir y factorizar:
$$ MI = \frac{2 \sin 3A \cos 2A + \sin 3A}{2 \cos 3A \cos 2A + \cos 3A} $$
Factorizamos $\sin 3A$ arriba y $\cos 3A$ abajo:
$$ MI = \frac{\sin 3A (2 \cos 2A + 1)}{\cos 3A (2 \cos 2A + 1)} $$

4. Simplificación final:
Cancelamos el factor $(2 \cos 2A + 1)$:
$$ MI = \frac{\sin 3A}{\cos 3A} $$
$$ \boxed{MI = \tan 3A} $$