1. Datos y estrategia:
Usaremos la propiedad del ángulo doble reiteradamente: $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$, de donde $\cos \theta = \frac{\sin 2\theta}{2 \sin \theta}$.

2. Desarrollo:
Multiplicamos y dividimos la expresión original por $2 \sin 20^\circ$:
$$ E = \frac{2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2 \sin 20^\circ} $$
Usando $2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ = \sin 40^\circ$:
$$ E = \frac{\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2 \sin 20^\circ} $$
Multiplicamos y dividimos por 2:
$$ E = \frac{2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}{2 \cdot 2 \sin 20^\circ} = \frac{\sin 80^\circ \cos 80^\circ}{4 \sin 20^\circ} $$
Multiplicamos y dividimos por 2 nuevamente:
$$ E = \frac{2 \sin 80^\circ \cos 80^\circ}{2 \cdot 4 \sin 20^\circ} = \frac{\sin 160^\circ}{8 \sin 20^\circ} $$

3. Reducción al primer cuadrante:
Sabemos que $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$.
$$ E = \frac{\sin 20^\circ}{8 \sin 20^\circ} $$
$$ \boxed{E = \frac{1}{8}} $$