1. Identificación de fórmulas:
Utilizaremos las identidades de transformación de suma a producto:

• $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)$
• $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)$

2. Sustitución en el miembro izquierdo (MI):
$$ MI = \left[ 2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \right]^2 + \left[ 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \right]^2 $$

3. Desarrollo de los cuadrados:
$$ MI = 4 \cos^2 \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos^2 \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) + 4 \sin^2 \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos^2 \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) $$

4. Factorización por término común:
Factorizamos $4 \cos^2 \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)$:
$$ MI = 4 \cos^2 \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \left[ \cos^2 \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) + \sin^2 \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \right] $$

5. Aplicación de la identidad fundamental:
Sabemos que $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$. Por lo tanto:
$$ MI = 4 \cos^2 \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) \cdot (1) $$
$$ \boxed{MI = 4 \cos^2 \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)} $$
Queda demostrado que el miembro izquierdo es igual al miembro derecho.