1. Datos y propiedades:
Utilizaremos las identidades de ángulo doble y la diferencia de cuadrados aplicada a funciones trigonométricas:

• $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$
• $\cos^2 A - \cos^2 B = \sin(B+A)\sin(B-A)$
• $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

2. Desarrollo:
Partimos del lado derecho de la igualdad ($LD$):
$$ LD = \cos 2x \cos 2y + [\cos^2 (x + y) - \cos^2 (x - y)] $$

Aplicando la identidad de diferencia de cuadrados para cosenos: $\cos^2 A - \cos^2 B = \sin(B+A)\sin(B-A)$, donde $A = (x+y)$ y $B = (x-y)$:
$$ \cos^2(x+y) - \cos^2(x-y) = \sin((x-y)+(x+y)) \sin((x-y)-(x+y)) $$
$$ = \sin(2x) \sin(-2y) = -\sin 2x \sin 2y $$

Sustituyendo en la expresión original:
$$ LD = \cos 2x \cos 2y - \sin 2x \sin 2y $$

Reconocemos la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$, con $A=2x$ y $B=2y$:
$$ LD = \cos(2x + 2y) $$

3. Conclusión:
Se ha verificado que el lado derecho es igual al lado izquierdo.
$$ \boxed{\cos(2x + 2y) = \cos(2x + 2y)} $$