1. Desarrollo de la primera expresión:
Partimos de:
$$ \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{x \sin \varphi}{1 - x \cos \varphi} $$
Multiplicamos en cruz:
$$ \sin \theta (1 - x \cos \varphi) = x \sin \varphi \cos \theta $$
$$ \sin \theta - x \sin \theta \cos \varphi = x \sin \varphi \cos \theta $$
Agrupamos los términos con $x$:
$$ \sin \theta = x (\sin \varphi \cos \theta + \cos \varphi \sin \theta) $$
Usamos la identidad $\sin(A+B)$:
$$ \sin \theta = x \sin(\varphi + \theta) $$
De donde:
$$ x = \frac{\sin \theta}{\sin(\varphi + \theta)} \quad \dots (\text{Ec. 1}) $$

2. Desarrollo de la segunda expresión:
Análogamente para $\tan \varphi = \dfrac{y \sin \theta}{1 - y \cos \theta}$:
$$ \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} = \frac{y \sin \theta}{1 - y \cos \theta} $$
$$ \sin \varphi (1 - y \cos \theta) = y \sin \theta \cos \varphi $$
$$ \sin \varphi - y \sin \varphi \cos \theta = y \sin \theta \cos \varphi $$
$$ \sin \varphi = y (\sin \theta \cos \varphi + \cos \theta \sin \varphi) $$
$$ \sin \varphi = y \sin(\theta + \varphi) $$
De donde:
$$ y = \frac{\sin \varphi}{\sin(\theta + \varphi)} \quad \dots (\text{Ec. 2}) $$

3. Verificación de la igualdad solicitada:
Multiplicamos la Ec. 1 por $\sin \varphi$ y la Ec. 2 por $\sin \theta$:
$$ x \sin \varphi = \frac{\sin \theta \sin \varphi}{\sin(\theta + \varphi)} $$
$$ y \sin \theta = \frac{\sin \varphi \sin \theta}{\sin(\theta + \varphi)} $$

4. Conclusión:
Ambas expresiones son idénticas, por lo tanto:
$$ \boxed{x \sin \varphi = y \sin \theta} $$