1. Datos del problema:
Se requiere demostrar una relación entre las tangentes de los ángulos $70^{\circ}$, $50^{\circ}$ y $20^{\circ}$. Notamos que $70^{\circ} = 50^{\circ} + 20^{\circ}$.

2. Propiedades usadas:
Utilizaremos la identidad de la tangente de la suma de dos ángulos:
$$ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $$

3. Desarrollo paso a paso:
Partimos de la relación $70^{\circ} = 50^{\circ} + 20^{\circ}$:
$$ \tan 70^{\circ} = \tan(50^{\circ} + 20^{\circ}) $$
Aplicando la fórmula de la suma:
$$ \tan 70^{\circ} = \frac{\tan 50^{\circ} + \tan 20^{\circ}}{1 - \tan 50^{\circ} \tan 20^{\circ}} $$
Multiplicamos ambos miembros por el denominador:
$$ \tan 70^{\circ} (1 - \tan 50^{\circ} \tan 20^{\circ}) = \tan 50^{\circ} + \tan 20^{\circ} $$
$$ \tan 70^{\circ} - \tan 70^{\circ} \tan 50^{\circ} \tan 20^{\circ} = \tan 50^{\circ} + \tan 20^{\circ} $$
Observamos que $70^{\circ}$ y $20^{\circ}$ son ángulos complementarios ($70^{\circ} + 20^{\circ} = 90^{\circ}$), por lo tanto:
$$ \tan 70^{\circ} = \cot 20^{\circ} = \frac{1}{\tan 20^{\circ}} $$
Sustituyendo esto en el término central:
$$ \tan 70^{\circ} - \left( \frac{1}{\tan 20^{\circ}} \right) \tan 50^{\circ} \tan 20^{\circ} = \tan 50^{\circ} + \tan 20^{\circ} $$
Simplificando $\tan 20^{\circ}$:
$$ \tan 70^{\circ} - \tan 50^{\circ} = \tan 50^{\circ} + \tan 20^{\circ} $$
Despejando $\tan 70^{\circ}$:
$$ \tan 70^{\circ} = 2 \tan 50^{\circ} + \tan 20^{\circ} $$

4. Conclusión:
Queda demostrada la igualdad propuesta.
$$ \boxed{\tan 70^{\circ} = 2 \tan 50^{\circ} + \tan 20^{\circ}} $$