Para resolver este problema, utilizaremos las fórmulas de suma y diferencia de ángulos para las funciones seno y coseno:

• $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
• $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$

Usaremos los ángulos notables $45^\circ$ y $30^\circ$, ya que $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ y $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.

1. Cálculo de $\sin 15^\circ$:
$$ \begin{aligned} \sin 15^\circ &= \sin(45^\circ - 30^\circ) \\ &= \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \end{aligned} $$

2. Cálculo de $\cos 15^\circ$:
$$ \begin{aligned} \cos 15^\circ &= \cos(45^\circ - 30^\circ) \\ &= \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ &= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \end{aligned} $$

3. Cálculo de $\sin 75^\circ$:
Por ángulos complementarios, $\sin 75^\circ = \cos(90^\circ - 75^\circ) = \cos 15^\circ$.
$$ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

4. Cálculo de $\cos 75^\circ$:
Por ángulos complementarios, $\cos 75^\circ = \sin(90^\circ - 75^\circ) = \sin 15^\circ$.
$$ \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $$

$$ \boxed{\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}, \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}, \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}} $$