1. Datos y propiedades:
En un cuadrilátero cíclico (inscrito en una circunferencia), la suma de los ángulos opuestos es igual a $180^\circ$. Por lo tanto:
$$ A + C = 180^\circ \quad \text{y} \quad B + D = 180^\circ $$

2. Fórmulas a utilizar:
Usaremos la propiedad de ángulos suplementarios para la función coseno:
$$ \cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta $$

3. Desarrollo paso a paso:
De las relaciones de los ángulos, podemos despejar $C$ y $D$:
$$ C = 180^\circ - A $$
$$ D = 180^\circ - B $$

Sustituimos estos valores en la expresión original:
$$ E = \cos A + \cos B + \cos(180^\circ - A) + \cos(180^\circ - B) $$

Aplicando la propiedad de reducción al primer cuadrante:
$$ \cos(180^\circ - A) = -\cos A $$
$$ \cos(180^\circ - B) = -\cos B $$

Sustituyendo nuevamente:
$$ E = \cos A + \cos B + (-\cos A) + (-\cos B) $$
$$ E = \cos A - \cos A + \cos B - \cos B $$
$$ E = 0 $$

4. Conclusión:
Se cumple la igualdad requerida para cualquier cuadrilátero cíclico.
$$ \boxed{\cos A + \cos B + \cos C + \cos D = 0} $$