Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_358
Propio
Enunciado
Hallar el valor de:
$$ S = \sin^2 6^\circ + \sin^2 12^\circ + \dots + \sin^2 90^\circ $$
$$ S = \sin^2 6^\circ + \sin^2 12^\circ + \dots + \sin^2 90^\circ $$
Solución Paso a Paso
1. Análisis de la serie:
Los ángulos son múltiplos de $6^\circ$: $6n$.
Número de términos: $90 / 6 = 15$ términos.
2. Agrupación:
Separamos el último término: $\sin^2 90^\circ = 1$.
Quedan 14 términos (del $6^\circ$ al $84^\circ$).
Observamos que $6^\circ + 84^\circ = 90^\circ$, por lo que forman parejas que suman 1:
Número de parejas = $14 / 2 = 7$ parejas.
3. Cálculo final:
$$ \begin{aligned} S &= 7(\text{parejas de } 1) + \sin^2 90^\circ \\ S &= 7 + 1 \\ S &= 8 \end{aligned} $$
$$ \boxed{S = 8} $$
Los ángulos son múltiplos de $6^\circ$: $6n$.
Número de términos: $90 / 6 = 15$ términos.
2. Agrupación:
Separamos el último término: $\sin^2 90^\circ = 1$.
Quedan 14 términos (del $6^\circ$ al $84^\circ$).
Observamos que $6^\circ + 84^\circ = 90^\circ$, por lo que forman parejas que suman 1:
Número de parejas = $14 / 2 = 7$ parejas.
3. Cálculo final:
$$ \begin{aligned} S &= 7(\text{parejas de } 1) + \sin^2 90^\circ \\ S &= 7 + 1 \\ S &= 8 \end{aligned} $$
$$ \boxed{S = 8} $$