1. Datos y análisis:
Se nos da una expresión para $x$ y debemos demostrar que otra expresión equivalente es igual a $x$. Utilizaremos la técnica de multiplicar por el conjugado para simplificar la fracción.

2. Propiedades a utilizar:

• Identidad pitagórica: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \Rightarrow 1 - \cos^2 \theta = \sin^2 \theta$.
• Diferencia de cuadrados: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

3. Desarrollo paso a paso:
Partimos de la expresión original de $x$:
$$ x = \frac{2 \sin \theta}{(1 + \sin \theta) + \cos \theta} $$
Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador respecto al término $\cos \theta$, es decir, por $(1 + \sin \theta) - \cos \theta$:
$$ x = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{[(1 + \sin \theta) + \cos \theta][(1 + \sin \theta) - \cos \theta]} $$
Aplicando diferencia de cuadrados en el denominador:
$$ x = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{(1 + \sin \theta)^2 - \cos^2 \theta} $$
Expandimos el binomio al cuadrado:
$$ x = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{1 + 2\sin \theta + \sin^2 \theta - \cos^2 \theta} $$
Sustituimos $\cos^2 \theta$ por $1 - \sin^2 \theta$:
$$ x = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{1 + 2\sin \theta + \sin^2 \theta - (1 - \sin^2 \theta)} $$
$$ x = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{1 + 2\sin \theta + \sin^2 \theta - 1 + \sin^2 \theta} $$
Simplificamos los términos en el denominador:
$$ x = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{2\sin^2 \theta + 2\sin \theta} $$
Factorizamos $2\sin \theta$ en el denominador:
$$ x = \frac{2 \sin \theta (1 + \sin \theta - \cos \theta)}{2\sin \theta (\sin \theta + 1)} $$
Cancelamos el factor común $2\sin \theta$:
$$ x = \frac{1 + \sin \theta - \cos \theta}{1 + \sin \theta} $$

4. Conclusión:
Se ha demostrado que la expresión resultante es idéntica a la solicitada.
$$ \boxed{\frac{1 - \cos \theta + \sin \theta}{1 + \sin \theta} = x} $$