1. Datos y propiedades:
Partimos de la condición inicial y utilizaremos la identidad fundamental $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$. Sea $x = \sin^2 \theta$, entonces $1-x = \cos^2 \theta$.

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos en la ecuación inicial:
$$ \frac{x^2}{2} + \frac{(1-x)^2}{3} = \frac{1}{5} $$
Multiplicamos toda la ecuación por el MCM de los denominadores (30):
$$ 15x^2 + 10(1 - 2x + x^2) = 6 $$
$$ 15x^2 + 10 - 20x + 10x^2 = 6 $$
$$ 25x^2 - 20x + 4 = 0 $$
Notamos que es un trinomio cuadrado perfecto:
$$ (5x - 2)^2 = 0 \implies 5x = 2 \implies x = \frac{2}{5} $$
Por lo tanto:
$$ \sin^2 \theta = \frac{2}{5} \quad \text{y} \quad \cos^2 \theta = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} $$

3. Cálculo de la expresión a demostrar:
Elevamos a la cuarta potencia para obtener los términos de la tesis:
$$ \sin^8 \theta = \left(\frac{2}{5}\right)^4 = \frac{16}{625} $$
$$ \cos^8 \theta = \left(\frac{3}{5}\right)^4 = \frac{81}{625} $$
Sustituimos en la expresión del problema:
$$ E = \frac{16/625}{8} + \frac{81/625}{27} $$
$$ E = \frac{2}{625} + \frac{3}{625} = \frac{5}{625} = \frac{1}{125} $$

4. Conclusión:
Se cumple la igualdad requerida.
$$ \boxed{\frac{\sin^{8} \theta}{8} + \frac{\cos^{8} \theta}{27} = \frac{1}{125}} $$