1. Datos del problema:

• Ecuación dada: $3\sin \theta + 5 \cos \theta = 5$
• Valor a demostrar: $5\sin \theta - 3\cos \theta = \pm 3$

2. Desarrollo paso a paso:
Sea $k$ el valor de la expresión que queremos encontrar:
$$ k = 5\sin \theta - 3\cos \theta $$

Elevamos al cuadrado ambas ecuaciones (la dada y la propuesta):
$$ \begin{aligned} (3\sin \theta + 5 \cos \theta)^2 &= 5^2 \implies 9\sin^2 \theta + 30\sin \theta \cos \theta + 25\cos^2 \theta = 25 \\ (5\sin \theta - 3 \cos \theta)^2 &= k^2 \implies 25\sin^2 \theta - 30\sin \theta \cos \theta + 9\cos^2 \theta = k^2 \end{aligned} $$

Sumamos ambas ecuaciones resultantes:
$$ (9\sin^2 \theta + 25\sin^2 \theta) + (25\cos^2 \theta + 9\cos^2 \theta) = 25 + k^2 $$
$$ 34\sin^2 \theta + 34\cos^2 \theta = 25 + k^2 $$

Factorizamos 34:
$$ 34(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 25 + k^2 $$
Como $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$:
$$ 34(1) = 25 + k^2 \implies k^2 = 34 - 25 \implies k^2 = 9 $$

Extrayendo la raíz cuadrada:
$$ k = \pm \sqrt{9} \implies k = \pm 3 $$

3. Resultado:
$$ \boxed{5\sin \theta - 3\cos \theta = \pm 3} $$