Primero determinamos las expresiones para $U_6$ y $U_4$:
$$ U_6 = \sin^6 \theta + \cos^6 \theta $$
$$ U_4 = \sin^4 \theta + \cos^4 \theta $$

1. Reducción de $U_6$:
Usando la suma de cubos $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ donde $a = \sin^2 \theta$ y $b = \cos^2 \theta$:
$$ U_6 = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)(\sin^4 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \cos^4 \theta) $$
$$ U_6 = 1 \cdot (\sin^4 \theta + \cos^4 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta) $$
Como $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta$:
$$ U_6 = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta $$

2. Reducción de $U_4$:
$$ U_4 = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta $$

3. Sustitución en la expresión original:
$$ 2U_6 - 3U_4 + 1 = 2(1 - 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta) - 3(1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 1 $$
$$ = 2 - 6\sin^2 \theta \cos^2 \theta - 3 + 6\sin^2 \theta \cos^2 \theta + 1 $$
$$ = (2 - 3 + 1) + (-6\sin^2 \theta \cos^2 \theta + 6\sin^2 \theta \cos^2 \theta) $$
$$ = 0 + 0 = 0 $$

$$ \boxed{2U_6 - 3U_4 + 1 = 0} $$