Para demostrar la identidad, partiremos del lado izquierdo de la ecuación (L.I.) utilizando la identidad pitagórica fundamental $1 = \sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha$.

1. Sustitución estratégica del número 1:
Sustituimos el $1$ del numerador por $(\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha)$:
$$ \frac{\tan \alpha + \sec \alpha - (\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha)}{\tan \alpha - \sec \alpha + 1} $$

2. Factorización por diferencia de cuadrados:
Recordamos que $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, entonces $\sec^2 \alpha - \tan^2 \alpha = (\sec \alpha - \tan \alpha)(\sec \alpha + \tan \alpha)$:
$$ \frac{(\tan \alpha + \sec \alpha) - [(\sec \alpha - \tan \alpha)(\sec \alpha + \tan \alpha)]}{\tan \alpha - \sec \alpha + 1} $$

3. Factorización por término común:
Factorizamos $(\sec \alpha + \tan \alpha)$ en el numerador:
$$ \frac{(\sec \alpha + \tan \alpha) \left[ 1 - (\sec \alpha - \tan \alpha) \right]}{\tan \alpha - \sec \alpha + 1} $$
$$ \frac{(\sec \alpha + \tan \alpha) ( 1 - \sec \alpha + \tan \alpha )}{\tan \alpha - \sec \alpha + 1} $$

4. Simplificación:
Observamos que el término $(1 - \sec \alpha + \tan \alpha)$ es idéntico al denominador $(\tan \alpha - \sec \alpha + 1)$, por lo tanto se cancelan:
$$ \sec \alpha + \tan \alpha $$

5. Conversión a senos y cosenos:
Usando las definiciones $\sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha}$ y $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:
$$ \frac{1}{\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha} $$

Como el L.I. es igual al L.D., la identidad queda demostrada.
$$ \boxed{\frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1 + \sin \alpha}{\cos \alpha}} $$