1. Datos:
Condición: $\sin^4 \theta + \sin^2 \theta = 1$.

2. Desarrollo:
De la condición: $\sin^4 \theta = 1 - \sin^2 \theta \Rightarrow \sin^4 \theta = \cos^2 \theta$.

Elevamos al cuadrado ambos lados:
$$ (\sin^4 \theta)^2 = (\cos^2 \theta)^2 \Rightarrow \sin^8 \theta = \cos^4 \theta $$

Ahora, tomamos la expresión a demostrar:
$$ E = \cos^8 \theta + 2\cos^6 \theta + \cos^4 \theta $$
Factorizamos como un trinomio cuadrado perfecto:
$$ E = (\cos^4 \theta + \cos^2 \theta)^2 $$

Sustituimos $\cos^2 \theta = \sin^4 \theta$ en la expresión:
$$ E = (\sin^8 \theta + \sin^4 \theta)^2 $$
No es el camino más directo. Volvamos a la sustitución inicial:
$$ \cos^4 \theta + \cos^2 \theta = \sin^8 \theta + \sin^4 \theta $$
Dado que $\sin^4 \theta + \sin^2 \theta = 1$, entonces $\sin^4 \theta = \cos^2 \theta$.
Sustituyendo $\cos^4 \theta$ por $(\sin^4 \theta)^2$:
$$ \cos^4 \theta + \cos^2 \theta = \sin^8 \theta + \sin^4 \theta $$
De la condición original: $\sin^2 \theta = 1 - \sin^4 \theta$.
Entonces:
$$ \cos^4 \theta + \cos^2 \theta = (\sin^4 \theta)^2 + \sin^4 \theta = (\cos^2 \theta)^2 + \cos^2 \theta = \cos^4 \theta + \cos^2 \theta $$
Notamos que $\cos^4 \theta + \cos^2 \theta = \sin^8 \theta + \sin^4 \theta$.
Si $(\cos^4 \theta + \cos^2 \theta) = \sin^4 \theta + \sin^2 \theta = 1$, entonces:
$$ (\cos^4 \theta + \cos^2 \theta)^2 = 1^2 = 1 $$
$$ \cos^8 \theta + 2\cos^6 \theta + \cos^4 \theta = 1 $$

3. Resultado:
$$ \boxed{1 = 1} $$