1. Datos del problema:
Se debe verificar la igualdad transformando el miembro izquierdo de la ecuación.

2. Fórmulas y propiedades usadas:

• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$


• $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$


• $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$


• $1 - 2\sin^2 \theta = \cos(2\theta)$

3. Desarrollo paso a paso:
Partimos del miembro izquierdo (M.I.):
$$ M.I. = \frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1 - 2\sin^2 \theta} $$

Efectuamos la resta en el numerador:
$$ M.I. = \frac{\frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta}}{1 - 2\sin^2 \theta} $$

Sabemos por identidades de ángulo doble que $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$ y que el denominador $1 - 2\sin^2 \theta$ también es igual a $\cos(2\theta)$. Sustituimos:
$$ M.I. = \frac{\frac{\cos(2\theta)}{\sin \theta \cos \theta}}{\cos(2\theta)} $$

Simplificamos el término $\cos(2\theta)$:
$$ M.I. = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} $$

Separamos la fracción:
$$ M.I. = \frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{1}{\sin \theta} $$
$$ M.I. = \sec \theta \csc \theta $$

4. Conclusión:
Se ha demostrado que el miembro izquierdo es idéntico al miembro derecho.
$$ \boxed{\sec \theta \csc \theta = \sec \theta \csc \theta} $$