1. Datos del problema:
Demostrar la igualdad usando fórmulas de ángulo doble o mitad para el coseno.

2. Formulas usadas:

• Coseno del ángulo doble: $\cos(2\theta) = 2\cos^2 \theta - 1$.
• Restricción: Para que la raíz sea real, $x \in [-1, 1]$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $\theta = \arccos \sqrt{\frac{1+x}{2}}$. Entonces:
$$ \cos \theta = \sqrt{\frac{1+x}{2}} $$
Elevando al cuadrado:
$$ \cos^2 \theta = \frac{1+x}{2} $$
Multiplicando por 2 y restando 1:
$$ 2\cos^2 \theta - 1 = x $$
Aplicando la identidad del ángulo doble:
$$ \cos(2\theta) = x $$
Tomando el arccoseno en ambos lados:
$$ 2\theta = \arccos x $$
Sustituyendo el valor original de $\theta$:
$$ 2 \arccos \sqrt{\frac{1+x}{2}} = \arccos x $$

4. Resultado:
$$ \boxed{2 \arccos \sqrt{\frac{1+x}{2}} = \arccos x} $$