1. Datos del problema:
Se busca expresar la función $y = \operatorname{arccot} x$ en términos de la función $\arcsin$, considerando las restricciones del rango de la arcocotangente, que usualmente se define en $(0, \pi)$.

2. Propiedades usadas:

• Relación trigonométrica: $\cot^2 y + 1 = \csc^2 y = \dfrac{1}{\sin^2 y}$.
• Definición de $\operatorname{arccot} x$: $y = \operatorname{arccot} x \iff \cot y = x$, con $y \in (0, \pi)$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $y = \operatorname{arccot} x$. Entonces $\cot y = x$.
Partimos de la identidad:
$$ \sin^2 y = \frac{1}{1 + \cot^2 y} = \frac{1}{1 + x^2} \implies \sin y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$
Dado que $y \in (0, \pi)$, el valor de $\sin y$ siempre es positivo, lo cual es consistente con la raíz cuadrada positiva.

Caso 1: $x \ge 0$
Si $x \ge 0$, entonces $\cot y \ge 0$. En el intervalo $(0, \pi)$, esto ocurre cuando $y \in (0, \pi/2]$. En este primer cuadrante, la función seno es creciente y su inversa directa es:
$$ y = \arcsin \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$

Caso 2: $x < 0$
Si $x < 0$, entonces $\cot y < 0$. Esto ocurre cuando $y \in (\pi/2, \pi)$. En este segundo cuadrante, el argumento del arcoseno sigue siendo positivo, pero $\arcsin(\text{valor})$ devuelve un ángulo en $(0, \pi/2)$. Para obtener el ángulo correcto en el segundo cuadrante, usamos la simetría $\sin y = \sin(\pi - y)$:
$$ \pi - y = \arcsin \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \implies y = \pi - \arcsin \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{\operatorname{arccot} x = \begin{cases} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} & x \ge 0 \\ \pi - \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} & x < 0 \end{cases}} $$