1. Datos del problema:
Relacionar $\theta = \arcsin x$ (rango $[-\pi/2, \pi/2]$) con $\text{arccot} u$ (rango $(0, \pi)$).

2. Fórmulas usadas:

• $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $\theta = \arcsin x \implies \sin \theta = x$ y $\cos \theta = \sqrt{1-x^2}$ (dado que $\cos \theta \ge 0$ para el rango del arcoseno).
Entonces, $\cot \theta = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$.

Caso 1: $0 < x \le 1$
$\theta$ está en $(0, \pi/2]$. La función $\text{arccot}$ de un valor positivo devuelve un ángulo en $(0, \pi/2]$, coincidiendo perfectamente.

Caso 2: $-1 \le x < 0$
$\theta$ está en $[-\pi/2, 0)$. El argumento de la arcocotangente $\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ es negativo, por lo que $\text{arccot}(\dots)$ devuelve un ángulo en el segundo cuadrante $(\pi/2, \pi)$. Para ajustar este valor al rango del arcoseno (negativo), restamos $\pi$:
$$ \arcsin x = \text{arccot} \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} - \pi $$

4. Resultado:
$$ \boxed{ \arcsin x = \begin{cases} \text{arccot} \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} & 0 < x \le 1 \\ \text{arccot} \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} - \pi & -1 \le x < 0 \end{cases} $$